El problema de Monty Hall

Ya anticipé un artículo sobre como interpretamos la probabilidad, o más bien, como somos prácticamente incapaces de hacerlo sin usar herramientas matemáticas. Existen un numero de ejercicios mentales capaces de demostrar este punto, y se los quería mostrar uno para no tener que incluirlos luego. Cualquier estudiante que haya pasado por Estadística o Probabilidad debería saber esto.

Monty Hall

Usted ha llegado a la etapa final de un programa de preguntas y respuestas. Ahora solo queda la disputa por el precio especial: un automóvil. El mismo se encuentra detrás de una de tres puertas posibles que usted puede elegir. Despues de elegir una puerta, Monty Hall (el anfitrión) abrira una de las puertas que usted no eligió y le mostrará que ahí no esta el auto. Nunca abre la puerta que tiene el premio. Ahora, Monty Hall le pregunta a usted:

"¿Se queda con la puerta que eligió o desea cambiar y elegir la otra?"

¿Que hace?

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Si desean pensar en el problema, no sigan leyendo.
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¿Qué importa? Quedan dos puertas, y el auto esta detrás de una de ellas. Tengo un 50% de probabilidad de ganar, no importa cual puerta elija. Si me quedo con la puerta que elegí o si cambio a la otra, ¡es lo mismo! ¿Cierto?

No. Conviene cambiar y elegir la otra, siempre.

Hay numerosas formas de explicar por que esto es así, algunas mejores que otras. Yo voy a usar mi propia forma de explicarlo, que espero sea clara.

Hay solo 2 estrategias posibles: cambiar o quedarse. Vamos con la segunda.

Quedarse

Si me quedo con la puerta que elegí, solo voy a ganar cuando elija la puerta correcta, la que tiene el auto. Con esta estrategia, es imposible ganar si elijo una de las dos puertas que no tienen nada detrás. Como hay 3 puertas y solo gano si elijo la unica con un premio, mi probabilidad de ganar con esta estrategia es de 1/3, o 33%.

Cambiar

Si, después de que Monty abra la puerta, cambio y elijo la otra restante, mi probabilidad de ganar es del 66%, o 2/3. ¿Por qué?

Supongamos que elijo la puerta que tiene el auto. Como vimos antes, esto solo ocurre un tercio de las veces. Ahora, Monty puede abrir cualquiera de las 2 puertas restantes porque ninguna tiene el auto. Cuando abra una y luego yo cambie para elegir la otra, siempre voy a elegir una puerta perdedora. TODO ESTO, ocurre un tercio de las veces.

Los otros 2 tercios de las veces, voy a elegir, por pura chance, una puerta que no tiene el auto. Luego, Monty puede abrir solo una de las dos puertas restantes: la que no tiene el auto. Después de que abra la puerta, al cambiar mi elección, siempre voy a estar eligiendo la puerta con el auto. Esto ocurre 2/3 de las veces. Con esta estrategia, siempre que al principio elija una puerta sin premio, voy a ganar.

Resumen

Si no cambio de elección y me quedo con la primer puerta que elija, solo gano si de entrada, elegí bien (1/3 de las veces).

Si cambio de elección, si la primera puerta que elijo no tiene el auto (no importa cual de las 2 es), Monty elimina la otra puerta perdedora y al cambiar, gano. La posibilidad de elegir, al comienzo, una puerta sin premio es de 2/3.

Análisis

El pensamiento de que, luego de que Monty abra una puerta, tengo un 50% de probabilidad de ganar constituye el engaño de este ejercicio, y les voy a decir por que: Si yo elijo no cambiar, que Monty abra o no la puerta es irrelevante. Solo cuando yo elijo cambiar entra en juego este suceso. Monty, efectivamente, elimina una opción, pero esto solo se manifiesta si yo cambio de puerta. Es contra intuitivo, es difícil de entender y mucha gente va a pensar que hay algo mal con este razonamiento: eso solo significa que el ejercicio cumple su objetivo de confundir y mostrarle a la gente que es dificil evaluar probabilidades.

Cuando yo elijo cambiar, la acción del anfitrión agrega información al problema. De lo contrario, si yo no cambio, no disfruto de esa información. Esto es difícil de entender, al punto que un amigo me dijo "pero eso es matemática, en realidad pasa otra cosa". Creo que no necesito mostrar que esa noción es absurda.

Si tienen problemas aceptando esto, a veces una demostración práctica ayuda. Monten el problema: escondan algo detras de uno de 3 objetos y vean que pasa cuando elijen quedarse y elijen la "puerta" 1, 2 o 3. Luego, elijan cambiar y vean que pasa. A mi amigo solo lo convencí (y apenas) cuando yo le escondi 10 veces un pedazo de papel debajo de 3 servilletas y el jugó con su estrategia (quedarse) y ganó 3 veces. Cuando fue mi turno, yo elegí cambiar, y gane 6 veces de 10. Soprendentemente, exactamente el resultado que se espera.

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